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不等式

2007-09-08T13:53:27Z

Liru: 新規初版

'''不等式'''（ふとうしき、''inequality''）とは'''不等号'''（ふとうごう）を含んだ[[数式]]で、いくつかの量の大きさやモノの序列、値などの評価を示すものである。

値や量を評価するという意味では[[等式]]を不等式の一種であると見なすこともできる。

==概要==
未知数（あるいは[[変数]]）を含む不等式は[[方程式]]と類似の概念をもたらす。すなわち、変数への値の代入が行われたとき、正しい評価を与える値のことを'''不等式の解'''と呼び、不等式の解となる値を全て求めることを'''不等式を解く'''という。通常、不等式という言葉は、このように未知の数を含む、方程式との類似物の意味で用いられることが多い。

また、未知数を含む不等式が与えられたとき、ほとんどの場合、任意の値が解となるわけではなく、ゆえに不等式が未知の数に関する条件を定めるものであると理解されることも方程式と同様である。方程式に対する[[恒等式]]に当たるもの、すなわち任意の値を解とするような不等式は'''絶対不等式'''と呼ばれる。

;例 : ''x'' + 1 > 1（この場合、''x'' が 0 より大きいという条件が示される）
;絶対不等式の例 : ''x''2 + 1 > 0 （ただし、''x'' は実数に値をとる変数）

同じ文字は同時に同じ値をもつという約束に基づいて、'''多変数不等式'''や、同時に成り立つ不等式の組、すなわち'''連立不等式'''、'''不等式系'''と呼ばれるものを考えることができること、あるいは与えられた不等式系を、同値性を保ったままでなるべく簡単な不等式系に変換することを'''不等式系を解く'''ということなどは、やはり[[方程式系]]と同様である。

方程式が離散的な値を与える条件式となることが多いことに比して、不等式は通常、値の'''範囲'''を評価する条件式として働く。
このような違いが効果的に現れた例として[[素数分布]]に関する[[ブルンの篩]]を挙げる事ができるだろう。これは、素数の検出法として古典的に知られていた[[エラトステネスの篩]]のルジャンドルによる定式化（これは、ある整数以下の素数の "個数" を計算するためのもので、[[メビウス関数]]を用いた等式として書くことができる）を、さらに不等式で範囲の評価に書き直すこと（およびその精密化）により得られたもので、素数分布の評価に絶大な効果をもたらした。

様々な場面で不等式を巧妙に用いて様々な論証を行う[[解析学]]は、方程式論をはじめとする等式の学問としての[[代数学]]との対比として、しばしば「不等式の学問」といわれる。

== 実数の大小 ==
[[数学 (教育)|教育数学]]において扱う不等式は実数の大小関係に関するものである。
=== 種類と意味 ===
;> だいなり、よりだい
:左辺が右辺よりも大きいことを示す。
;≧(≥) だいなりいこーる、以上
:左辺が右辺よりも大きいか、等しいことを示す。
;< しょうなり、よりしょう、未満
:左辺が右辺よりも小さいことを示す。
;≦(≤) しょうなりいこーる、以下
:左辺が右辺よりも小さいか、等しいことを示す。

これらを利用して、例えば ''x'' が100以上1000未満であることは 100 ≦ ''x'' < 1000 と表現できる。また、''a'' ≦ 100 かつ ''a'' ≧ 100 であれば ''a'' = 100 であると結論できる。

"≧" や "≦" のように二本線を用いる表記は日本ではよく用いられるが、世界的にはあまり用いられない。

=== 性質 ===
不等式は方程式の場合とは異なり、不等号の種類（向き）が意味を持つので、不等式に対する操作でそれが変化することがあることに注意しなければならない。

不等式の両辺に等しいものを加えても、評価は変わらない。よって、[[方程式]]と同様に、不等式も[[移項]]することによって同値なまま変形ができる。

両辺に同じ数値を加えたり減じたりする場合には不等号の向きは変化しないが、両辺に同じ負の数を乗じたり除したりする場合には、不等号の向きが変わる。乗数・除数が変数であったり文字式であったりと正負が不定の場合は、場合分けして計算する必要がでてくる。

まとめると、実数の大小に関する不等式は次の性質をもつ。
# ''a'' ≦ ''b'' ⇔ ''b'' ≧ ''a''
# ''a'' < ''b'' ⇔ ''b'' > ''a''
# ''a'' ≦ ''b'' ⇔ ''a'' = ''b'' または ''a'' < ''b''
# ''a'' ≧ ''b'' ⇔ ''a'' = ''b'' または ''a'' > ''b''
# ''a'' ≦ ''a'', ''a'' ≧ ''a''
# ''a'' ≦ ''b'' かつ ''b'' ≦ ''a'' ならば ''a'' = ''b''
# ''a'' ≦ ''b'' かつ ''b'' ≦ ''c'' ならば ''a'' ≦ ''c''
# ''a'' ≦ ''b'' かつ ''c'' ≦ ''d'' ならば ''a'' + ''c'' ≦ ''b'' + ''d''
# ''a'' ≦ ''b'' ならば -''b'' ≦ -''a''
# 0 < ''a'', ''b'' ならば 0 ≦ ''ab''

1, 2, 3, 4 は不等号という記号の約束事である。また、5, 6, 7 は順序の公理として抽象化される性質である。すなわち 5, 6, 7 は実数の大小関係が[[順序集合|順序関係]]であるということを述べている。8, 9, 10 が成り立つことは順序が体演算と適合すると言われ、実数の全体が[[順序体]]をなすことの成立要件である。

== 主な不等式 ==
* 一次不等式
** 線形計画法
* 二次不等式
*相加相乗平均
*コーシー・シュワルツの不等式
*三角不等式

== 関連項目 ==
*[[数学]]
*[[等式]]
*[[方程式]]
*[[解析学]]
*[[順序集合]]
**[[順序加群]]
**[[順序体]]

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[[Category:不等式|*]]
[[Category:初等数学]]
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調性

2007-09-08T13:33:51Z

Liru: stub

'''調性'''（ちょうせい）の定義は大雑把に無調でないという意味ではあるが必ずしも境界がはっきりしているわけではない。一般に[[機能和声]]や[[対位法]]で作られた音楽を[[調性音楽]]というが、[[多調音楽]]や[[旋法音楽]]・[[五音階音楽]]・[[全音階音楽]]なども調性音楽に入るが、打楽器だけの[[雑音音楽]]や[[微分音音楽]]は調性音楽とはいわない。[[偶然性音楽]]はその両方を含みその中間といえる。

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三角関数

2007-09-08T13:05:23Z

Liru: 新規初版

'''三角関数'''（さんかくかんすう、trigonometric function）とは、平面[[三角法]]において[[直角三角形]]の角の大きさから辺の比を与える[[関数_(数学)|関数]]の族および、それらを拡張して得られる関数の総称である。

== 概要 ==
[[直角三角形]]は 1つの角が[[直角]]であり、[[三角形]]の内角の和は 180度であることから他の 1つの角の大きさが定まれば、角の大きさが3つとも決まり三角形の形が決まる。ゆえに角の大きさを与えることで、辺同士の比を返すような関数を考えることができる。

&ang;''B'' を直角とする直角三角形 △''ABC'' において &ang;''A'' = θ を与えれば、 3辺の比 ''AB'' : ''BC'' : ''CA'' が定まることから
:<math>\sin\theta = {BC \over CA}</math>
:<math>\cos\theta = {AB \over CA}</math>
:<math>\tan\theta = {BC \over AB} = {\sin\theta \over \cos\theta}</math>
:<math>\operatorname{sec}\theta = {CA \over AB} = {1 \over \cos\theta}</math>
:<math>\operatorname{cosec}\theta = {CA \over BC} = {1 \over \sin\theta}</math>
:<math>\cot\theta = {AB \over BC} = {\operatorname{cosec}\theta \over \sec\theta}</math>
という 6つの値が定まる。それぞれ正弦・余弦・正接・正割・余割・余接などと呼ばれるがまとめて三角比と呼ばれる。三角比は平面[[三角法]]に用いられ、巨大なものの大きさや遠方までの距離を測定する際に便利な道具として用いられる。角度 θの単位は[[度 (角度)|度]]で与えられることもあるが、理論的には[[ラジアン]]で与えられた方が計算しやすい。これらの三角比の定義を拡張することによって、一般に θは直角三角形の内角という制限を取り払われ一般の[[実数]]、さらには複素数として与えることもできる。こうして三角比のように三角形の辺の比としての意味を持たず、純粋に関数としての性質に注目して定義したときこれらを三角関数と呼ぶ。[[単位円]]によって定義されたり、[[双曲線関数]]との類似などから、三角関数を円関数と呼んだりすることもある。

三角関数は[[多項式]]のように簡単に計算できる関数ではないが、三角関数の間には
: sin2 ''θ'' + cos2 ''θ'' = 1
などの様々な代数関係が成り立ったりするし
:<math>\frac{d^2}{dx^2} y(x) = -y(x) </math>
という比較的簡単な[[微分方程式]]の解を構成したりもする。つまり三角関数とは多項式と違って計算しにくい複雑な関数であるが、複雑な関数の中ではわかりやすくて単純な性質を持つ関数の一種である。したがって三角関数を詳しく調べることは他の扱いにくい複雑な関数を調べるための足がかりでもあり、基本的な関数としてよく研究されてきた。数学の多くの場面で顔を覗かせ[[初等関数]]に数えられている。

== 定義 ==
2 次元[[ユークリッド空間]] '''''R'''''2 における[[単位円]] ''x''2 + ''y''2 = 1 上で、点 (1,0) から正の向きに回転する動点 ''P'' = (''x'',''y'') に対して、動点と原点を結ぶ線分が x 軸の正方向と成す角を ''t'' として、

:sin ''t'' = ''y''
:cos ''t'' = ''x''
:<math> \tan\,t = \frac{\sin\,t}{\cos\,t} = {y \over x}</math>

と定義する（ただし、tは反時計回りの向きを正として測る）。上から'''正弦関数'''（sine; サイン）・'''余弦関数'''（cosine; コサイン）・'''正接関数'''（tangent; タンジェント）と呼び、これらを総称して'''三角関数'''と呼ぶ。さらにその逆数、

:<math>\mathrm{cosec}\,t = {1 \over \sin\,t} = {1 \over y},</math>
:<math>\sec\,t = {1 \over \cos\,t} = {1 \over x},</math>
:<math>\operatorname{cot}\,t = \frac{1}{\tan\,t} = \frac{x}{y}</math>

を、上から'''余割関数'''（cosecant; コセカント）・'''正割関数'''（secant; セカント）・'''余接関数'''（cotangent; コタンジェント）と呼び、これらを総称して'''割三角関数'''(かつさんかくかんすう)と呼ぶ。また、割三角関数を含めて三角関数と呼ぶこともある。cosecは長いのでcscと書くこともある。



== 周期性 ==
単位円上を往く動点 P は2''π'' の行程を隔てれば、単位円を一周する。従って、任意の行程 ''t'' は、
:<math>
t = \theta + 2\pi n ;\
0 \leqq \theta < 2\pi ,\ n\isin \mathbb{Z}
</math>

と表現することができる。この時、''θ'' を[[偏角]]、''t'' を[[一般角]]と言う。偏角でも一般角でも、最終到達点の座標は一致するわけであるから、
: sin(''θ''+2''π''n) = sin''θ''
が成り立つ（他の三角関数でも同様）。このことから、三角関数は[[周期関数]]となる。

==歴史==
一定の半径の円における中心角に対する弦と弧の長さの関係は天文学の要請によって古代から研究されてきた。

古代ギリシャにおいて、円と球に基づく宇宙観に則った[[天文学]]研究から、ヒッパルコスにより一定の半径の円における中心角に対する弦の長さが表にまとめられたもの（正弦表）が作られた。プトレマイオスの『[[アルマゲスト]]』にも正弦表が記載されている。

正弦表は後にインドに伝わり、弦の長さは半分でよいという考えから[[5世紀]]ごろには半弦 ardha-jiva （つまり現在の sine の意味の正弦）の長さをより精確にまとめたものが作成された（『アールヤバタ』）。ardha は"半分" jiva は"弦"の意味で、当時のインドではこの半弦（現在の sine の意味の正弦）は単に jiva と略された。また、弦の長さを半分にして直角三角形を当てはめたことから派生して余角(complementary angle)の考えが生まれ、“余角(co-angle)の正弦(sine)”という考えから余弦 (cosine)の考えが生まれた。余弦の値もこのころに詳しく調べられている。

（*co- は complementary の略で、補完的･補足的という意味の接頭語として用いる）

[[8世紀]]ごろアラビアへ伝わったときに jaib（入り江）と変化して、一説では12世紀に[[チェスターのロバート]]が[[ラテン語]]に翻訳した際、正弦を sinus rectus と意訳し（sinusはラテン語で「湾」のこと）現在の、 sine になったという。

また、10世紀の数学者[[バッターニー|アル・バッターニ]]が正弦法の導入、コタンジェント表の計算、球面三角法([[球面幾何学]])の定理を提唱した。

円や弦といった概念からは独立に、三角比を辺の比として角と長さの関係と捉えたのは[[16世紀]]ドイツのラエティクスであると言われる。余弦を co-sine とよんだり、sin, cos という記号が使われるようになったりしたのは [[17世紀]]になってからであり、それが定着するのは [[18世紀]][[レオンハルト・オイラー|オイラー]]のころである。一般角に対する三角関数を定義したのはオイラーである。

== 三角関数の相互関係 ==
単位円上の動点の座標によって定まる関数であることから、三角関数の間に成り立ついくつかの相互関係を導くことができる。
; 基本相互関係
:* sin2 ''t'' + cos2 ''t'' = 1.
:* sec2 ''t'' − tan2 ''t'' = 1.
:* cosec2 ''t'' − cot2 ''t'' = 1.

;負角・余角・補角公式
:* sin(−''t'') = −sin ''t''.
:* cos(−''t'') = cos ''t''.
:*<math>\sin\!\left(t + \frac{\pi}{2}\right) = \cos t.</math>
:*<math>\cos\!\left(t + {\pi\over 2}\right) = -\sin t.</math>
:* sin(''t'' + ''π'') = −sin ''t''.
:* cos(''t'' + ''π'') = −cos ''t''.

== 三角関数の加法定理 ==
*<math>\sin(\alpha+\beta) =
\sin\alpha\,\cos\beta+\cos\alpha\, \sin\beta
</math>

*<math>\sin(\alpha-\beta) =
\sin\alpha\,\cos\beta-\cos\alpha\, \sin\beta
</math>

*<math>\cos(\alpha+\beta) =
\cos\alpha\,\cos\beta-\sin\alpha\, \sin\beta
</math>

*<math>\cos(\alpha-\beta) =
\cos\alpha\,\cos\beta+\sin\alpha\, \sin\beta
</math>

*<math>\tan(\alpha+\beta) =
\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\, \tan\beta}
</math>
*<math>\tan(\alpha-\beta) =
\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\, \tan\beta}
</math>

===加法定理の導出===
多くの導き方があるが、一例として[[オイラーの公式]]から、
:<math>
\cos(\alpha + \beta) + i\,\sin(\alpha + \beta)
= e^{(\alpha + \beta)i} = e^{\alpha i} e^{\beta i}
</math>
:<math>
=(\cos\alpha + i\,\sin\alpha)(\cos\beta + i\,\sin\beta)
</math>
:<math>
=(\cos\alpha\,\cos\beta - \sin\alpha\,\sin\beta) +
i(\sin\alpha\,\cos\beta + \cos\alpha\,\sin\beta)
</math>
として実部と虚部を比較すると sin, cos の加法公式を得る。また、
:<math>\tan\left(\alpha \pm \beta\right)=
\frac{\sin\alpha\,\cos\beta \pm \cos\alpha\,\sin\beta}
{\cos\alpha\,\cos\beta \mp \sin\alpha\,\sin\beta}
</math>
において分母と分子を <math>\cos\alpha\,\cos\beta</math> で割ると tan の加法公式が得られる。

なお、当然のことながら、ここで述べた導出法はオイラーの公式を既知とするように三角関数の導入（たとえば三角関数を[[べき級数]]として定義）を行っていなければ通用しない。

=== 派生公式 ===
加法定理から導かれる種々の有用な公式がある。

;二倍角公式
:* sin 2''α'' = 2 sin ''α'' cos ''α''.
:* cos 2''α'' = cos2 ''α'' − sin2 ''α'' = 2 cos2 ''α'' − 1 = 1 − 2 sin2 ''α''.

:* <math>\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}</math>

;三倍角公式
:* sin 3''α'' = −4sin3 ''α'' + 3sin ''α''.
:* cos 3''α'' = 4cos3 ''α'' − 3cos ''α''.
:* <math>\tan 3\alpha=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha}</math>

;半角公式
:*<math>\sin^2\!\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \cos\alpha}{2}.</math>
:*<math>\cos^2\!\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + \cos\alpha}{2}.</math>
:*<math>\sin\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)
= \frac{\sin\alpha}{2}.
</math>

;三分角公式
:*<math>\sin^3 \alpha = {1\over 4}(3\sin\alpha - \sin 3\alpha).</math>
:*<math>\cos^3 \alpha = {1\over 4}(3\cos\alpha + \cos 3\alpha).</math>

;和積公式
:*<math>\sin\alpha + \sin\beta =
2\sin\!\left({\alpha +\beta \over 2}\right) \cos\!\left({\alpha -\beta \over 2}\right).
</math>
:*<math>\sin\alpha - \sin\beta =
2\cos\!\left({\alpha +\beta \over 2}\right) \sin\!\left({\alpha -\beta \over 2}\right).
</math>
:*<math>\cos\alpha + \cos\beta =
2\cos\!\left({\alpha +\beta \over 2}\right) \cos\!\left({\alpha -\beta \over 2}\right).
</math>
:* <math>\cos\alpha - \cos\beta =
-2\sin\!\left({\alpha +\beta \over 2}\right) \sin\!\left({\alpha -\beta \over 2}\right).
</math>

;積和公式
:*<math> \sin\alpha\, \cos \beta =
{1\over 2}\{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\}.
</math>
:*<math> \cos\alpha\, \sin\beta =
{1\over 2}\{\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)\}.
</math>
:*<math> \cos\alpha\, \cos\beta =
{1\over 2}\{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)\}.
</math>
:*<math> \sin\alpha\, \sin\beta =
-{1\over 2}\left\{\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta)\right\}.
</math>
;合成公式
:*<math>a \sin\theta + b \cos\theta = \sqrt{a^2+b^2} \sin(\theta + \varphi),</math>
:: ただし <math>\varphi=\tan^{-1}\!\left( \frac{b}{a} \right).</math>

== 無限乗積展開 ==
三角関数は以下のように[[無限乗積]]に展開される。(→[[三角関数の無限乗積展開|証明]])
:<math>\sin{{\pi}z}={\pi}z\prod_{n=1}^{\infty}{\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)}</math>
:<math>\cos{{\pi}z}=\prod_{n=1}^{\infty}{\left\{1-\frac{z^2}{(n-\frac{1}{2})^2}\right\}}</math>

== 部分分数展開 ==
三角関数は以下のように[[部分分数]]に展開される。(→[[三角関数の部分分数展開|証明]])
:<math>\pi\operatorname{cot}{{\pi}z}=\lim_{N\to\infty} \sum_{n=-N}^{N} \frac{1}{z+n} = \frac{1}{z} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2z}{z^2-n^2}</math>
:<math>\pi\tan{{\pi}z}=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^{N}\frac{-1}{z+\textstyle\frac{1}{2}+n}=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2z}{z^2-\left(n+\textstyle\frac{1}{2}\right)^2}</math>
:<math>\frac{\pi}{\sin{\pi}z}=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^{N}\frac{(-1)^{n}}{z+n}=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2z}{z^2-n^2}</math>
:<math>\frac{\pi}{\operatorname{cos}{{\pi}z}} = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=-N}^{N} \frac{(-1)^{n}}{z+\frac{1}{2}+n} = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(2n+1)}{z^2-\left(n+\frac{1}{2}\right)^2}</math>

== 三角関数の微分法 ==
*<math>{d\over dx}\sin x = \cos x,</math>
*<math>\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,</math>
*<math>\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x.</math>

三角関数の微分では、次の極限
:<math>\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1</math>
の成立が基本的である。このとき、sin ''x'' の[[導関数]]が cos ''x'' であることは加法定理から従う。さらに余角公式 cos ''x'' = sin(''x'' + π/2) から cos ''x'' の導関数は sin(''x'' + ''π'') = −sin ''x'' である。即ち、sin ''x'' は[[微分方程式]] ''d''2''y''/''dx''2 + ''y'' = 0 の、[[方程式|特殊解]]である。また、他の三角関数の導関数も、上の事実から簡単に導ける。

== 逆三角関数 ==
三角関数の[[逆関数]]を'''逆三角関数'''（ぎゃくさんかくかんすう、inverse trigonometric function）とよぶ。逆三角関数は逆関数の記法に則り、元の関数の記号に −1 を（通常は右肩に）付して表す。たとえば'''逆'''正弦関数（ぎゃくせいげんかんすう、inverse sine; インバース・サイン）は sin−1''x'' などと表す。
:<math>x=\sin y \iff y=\sin^{-1}x,</math>
:<math>x=\cos{y} \iff y=\cos^{-1}{x},</math>
:<math>x=\tan y \iff y=\tan^{-1}x,</math>
:<math>x=\cot y \iff y=\cot^{-1}x,</math>
:<math>x=\sec y \iff y=\sec^{-1}x,</math>
:<math> x=\mathrm{cosec} y \iff y=\mathrm{cosec}^{-1}x</math>
である。逆関数は逆数をとるものではなく
:<math>(\sin x)^{-1}=\frac{1}{\sin x}=\mathrm{cosec} x</math>
とは異なるので注意したい。逆関数との混乱を避けるために sin−1 ''x'' を arcsin ''x'' と書く流儀もある。一般に周期関数の逆関数は[[関数 (数学)#多変数関数と多価関数|多価関数]]になるので、通常は逆三角関数を一価連続なる枝に制限して考えることが多い。たとえば、便宜的に'''主値'''と呼ばれる枝を
:<math>-\frac{\pi}{2}\leqq\sin^{-1}x\leqq\frac{\pi}{2},</math>
:<math>0\leqq\cos^{-1}x\leqq\pi,</math>
:<math>-\frac{\pi}{2}\leqq\tan^{-1}x\leqq\frac{\pi}{2}</math>
のように選ぶことが多い。またこのとき、制限があることを強調するために、Sin−1, ArcSin のように頭文字を大文字にすることもよく行われる。

== 複素関数への拡張 ==
三角関数の微分に関する性質から、cos ''x'', sin ''x'' を[[テイラー展開]]することにより、かの有名な[[オイラーの公式]] exp(''ix'') = cos ''x'' + ''i''sin ''x'' が導かれる。これより、2つの等式、
: exp(''ix'') = cos ''x'' + ''i'' sin ''x''
: exp(−''ix'') = cos ''x'' − ''i'' sin ''x''
が得られるから、これを連立させて解くことにより、正弦関数・余弦関数の[[初等関数]]としての表現が可能となる。即ち、
: <math>\operatorname{cos} x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}</math>,
: <math>\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.</math>

この事実を用いて三角関数の定義域を複素数全体に拡張することができる。まず、
: <math>\cos ix = \frac{e^{-x}+e^{x}}{2} = \operatorname{cosh} x,</math>
: <math>\sin ix = \frac{e^{-x}-e^{x}}{2i} = i\operatorname{sinh} x</math>
である。ここで cosh ''x'' , sinh ''x'' は[[双曲線関数]]を指す。この等式は三角関数と双曲線関数の関係式と捉えることもできる。任意の複素数 ''z'' は ''z'' = ''x''+''iy'' (''x'',''y''∈'''R''') と表現できるから、加法定理より
: cos ''z'' = cos(''x''+''iy'') = cos ''x'' cosh ''y'' − ''i'' sin ''x'' sinh ''y'',
: sin ''z'' = sin(''x''+''iy'') = sin ''x'' cosh ''y'' + ''i'' cos ''x'' sinh ''y''

が成り立つ。これこそが正弦関数・余弦関数の定義域を複素数全体に拡張したものである。他の三角関数も正弦関数と余弦関数の四則演算によって定義できるから、結局全ての三角関数は定義域を複素数全体に拡張できることがわかる。


==[[球面三角法]]==
球面の三角形''ABC''の内角を''a'',''b'',''c'', 対辺(球の中心角をとる)を''α'',''β'',''γ''とするとき、次のような関係が成立する。
:sin ''a'' : sin ''b'' : sin ''c'' = sin ''α'' : sin ''β'' : sin ''γ'' - 正弦公式
:cos ''a'' = cos ''b'' cos ''c'' + sin ''b'' sin ''c'' cos ''α'', etc. - 余弦公式
:cos ''α'' = − cos ''β'' cos ''γ'' + sin ''β'' sin ''γ'' cos ''a'', etc. - 〃
:sin ''a'' cos ''β'' = cos ''b'' sin ''c'' − sin ''b'' cos ''c'' cos ''α'' , etc. - 正弦余弦公式

==関連項目==
* [[正弦定理]]
* [[余弦定理]]
* [[球面三角法]]
* [[コサイン4乗則]]

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[[Category:数学に関する記事]]

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カテゴリ:線形代数学

2007-09-08T11:22:01Z

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[[線形代数学]]に関する記事を集めるカテゴリ。

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線形空間

2007-09-08T10:59:42Z

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'''線形空間'''（せんけいくうかん、linear space）あるいは'''ベクトル空間'''（ベクトルくうかん、vector space）とは、和と[[スカラー]]倍の定義された[[集合]]（[[代数的構造|代数系]]）のことである。'''線型空間'''、'''線状空間'''とも。これは「平面（あるいは空間）上の[[ベクトル (物理)|ベクトル]]すべてを集めた集合」を一般化、抽象化したものであり、その類推により術語を流用して、一般のベクトル空間の元のことを'''ベクトル'''（または'''ベクター'''）と呼称する。

線形空間は[[線形代数学]]の主要な対象であり、線形空間とそれに関する手法は[[数学]]のあらゆる分野で重要な道具として用いられる。ベクトル自体が元来は[[速度]]や[[加速度]]、[[力]]のように'''方向を持つ物理量を表す'''ために考案されたものであるので、[[物理学]]との関連が深い。[[量子力学]]では系のとりうる状態を線形空間で表す。

== 定義 ==
''K'' は[[体 (数学)|体]]と称される[[四則演算]]が自由にできる代数系とする。[[実数]]全体、[[複素数]]全体あるいは[[有理数]]全体のなす[[集合]]などはそれぞれそのような集合の例である。

体 ''K'' 上の'''線形空間''' ''V'' とは、
# ''V'' には和あるいは加法と呼ばれる[[二項演算|演算]] "+" が定義されていて、この和について[[アーベル群]]になる。つまり、
## ''V'' は和について閉じている。つまり '''''v''''', '''''w''''' が ''V'' の元ならば常に '''''v''''' + '''''w''''' は再び ''V'' の元になる。
## 和の[[結合法則]]が成り立つ。つまり ''V'' の三元 '''''u''''', '''''v''''', '''''w''''' に対して常に ('''''u''''' + '''''v''''') + '''''w''''' = '''''u''''' + ('''''v''''' + '''''w''''') が成り立つ。
## 和の[[交換法則]]が成り立つ。つまり ''V'' の二元 '''''v''''', '''''w''''' に対して常に '''''v''''' + '''''w''''' = '''''w''''' + '''''v''''' が成り立つ。
## [[零元]]が存在する。つまり、'''0''' + '''''v''''' = '''''v''''' が ''V'' の任意の元 '''''v''''' に対して成立する特別な元 '''0''' がただ一つ存在する。
## マイナス元の存在。つまり、''V'' の元 '''''v''''' に対して '''''v''''' + (−'''''v''''') = '''0''' となるような特別な元 −'''''v''''' が、どんな '''''v''''' に対してもとれる。
# ''K'' の元 ''c'' と ''V'' の元 '''''v''''' が与えられたとき、'''''v''''' のスカラー ''c'' 倍と呼ばれる乗法的演算 ''c'''v''''' ∈ ''V'' が定義されている。つまり、
## スカラー乗法の合成はまたスカラー乗法である。つまり、'''''v''''' が ''V'' の元、''c'', ''d'' が ''K'' の元ならば常に、''c''(''d'''''''v''''') = (''cd'')'''''v''''' が成り立つ。
## 1''K'' を ''K'' の乗法に関する[[単位元]]とするとき、''V'' のどんな元 '''''v''''' に対しても 1''K'''''''v''''' = '''''v''''' が成り立つ。
## 和とスカラー倍について[[分配法則]]が成り立つ。つまり、''K'' の元 ''c'' と ''V'' の元 '''''v''''', '''''w''''' が与えられたとき常に、''c''('''''v''''' + '''''w''''') = ''c'''v''''' + ''c'''w''''' が成り立つ。また、''c'', ''d'' が ''K'' の元で '''''v''''' が ''V'' の元であるとき常に (''c'' + ''d'')'''''v''''' = ''c'''v''''' + ''d'''v''''' が成り立つ。
なる条件を満足する三つ組 (''V'', +, ''K'') によって定まる[[代数系]]のことである。''V'' の元を'''ベクトル'''、''K'' の元を'''スカラー'''と呼ぶ。ベクトル空間における和とスカラー倍を総称して線形演算と呼ぶ。

線形空間 (''V'', +, ''K'') について、''V'' をこの空間の台（台集合）とよび、紛れの無い場合には台集合を表す記号によて線形空間を表す。また、「 ''V'' は ''K'' に'''係数'''を持つ」、「''K'' を ''V'' の'''係数体'''とする」あるいは「''V'' は ''K'' 上定義される」などとも言いまわす。また簡単に ''K''-'''線形空間''' ''V'' などとも呼ぶ。[[実数]]体上の線形空間を'''実線形空間'''といい、[[複素数]]体上の線形空間を'''複素線形空間'''という。

: ベクトルとスカラーが異なるということを明示的に表すために、しばしばこれらを表す文字の種類を異にして記す。代表的な記法として、「ベクトルにボールド・イタリック体（太い斜体字）を用い、スカラーにはイタリック体（斜体字）を用いる」「ベクトルをラテンアルファベットで表し、スカラーはグリークアルファベット（ギリシャ文字）で表す」などの流儀がある（ただし、必ずしもこれらに限るものではなく、場合によってはまったく文字種の区別をしないこともある）。ここではベクトルをボールドイタリック、スカラーをイタリックにする流儀に合わせた。

== 基底の存在と次元 ==
線形空間 ''V'' の部分集合で、互いに[[線形結合|線形独立]]な要素からなる集合（'''線形独立系'''）を考える。ある自然数 ''n'' について、''V'' 内の線形独立系がすべて高々 ''n'' 個の元からなっているならば ''V'' の次元は高々 ''n'' であるといい、このような自然数 ''n'' がとれるとき、''V'' は'''有限次元'''であるという。線形空間 ''V'' が高々 ''n'' 次元であってなおかつ高々 ''n'' − 1 次元でないとき、''V'' の次元を ''n'' と定める。また、任意の自然数 ''n'' について、線形空間 ''V'' に ''n'' 個の元からなる線形独立系が存在するとき、''V'' は'''無限次元'''である、あるいは ''V'' の次元は[[無限大]]であるという。線形空間 ''V'' の次元は dim ''V'' あるいは（体 ''K'' 上のベクトル空間としての次元であることを明示するために）dim''K'' ''V'' とあらわす。

線形空間 ''V'' における、係数体 ''K'' 上の'''基底'''あるいは一意生成系とは、次の条件を満たすような ''V'' のベクトルの集合 ''S'' のことである。
# ''S'' は ''V'' を ''K'' 上[[線形結合|生成]]する。
# ''V'' のベクトルの ''S'' の線形結合としての表示はただ一通りである。
一意生成系であるという条件は（体における除法可能性により）、''S'' が ''V'' の線形独立系のうち包含関係に関して極大なもの（'''極大線形独立系'''）であるという条件、あるいは ''S'' は ''V'' の生成系のうち包含関係に関して極小なもの（'''極小生成系'''）であるという条件と同値である。線形空間が一つ与えられたとき、その基底の取り方は一つとは限らないが、基底の[[基数|濃度]]は一定で、特に有限次元線形空間の基底の濃度は次元の値 dim''K'' ''V'' と一致する。無限次元線形空間についてもその次元を基底の濃度のことであると定義して次元の大きさを区別することがある。基底が極大線形独立系であるという条件からは、[[ツォルンの補題]]（これは [[ツェルメロ・フレンケルの公理系|ZF]] のもと[[選択公理]]に同値）を用いることにより「全ての線形空間は基底をもつ」という事実が従い、またこれにより任意の線形空間に対して次元が定義可能であることがわかる。

== 部分空間と線形写像 ==
複数の線形空間、あるいは線形空間全体の成す類を考えるとき、線形空間同士の関係は線形空間の構造（[[線型性]]）を司る線型演算に注目して記述される。''K''-線形空間 ''V'' から別の ''K''-線形空間 ''V''′ への写像 ''f'': ''V'' → ''V''′ は
: ''f''('''''v''''' + '''''w''''') = ''f''('''''v''''') + ''f''('''''w''''') (''v'', ''W'' ∈ ''V'')
: ''f''(''c'''v''''') = ''cf''('''''v''''') (''c'' ∈ ''K'', '''''v''''' ∈ ''V'')
を満たすとき ''K''-線形空間の構造を保つ、''K''-線形性を持つ、あるいは ''K''-[[線形写像]]であるという。抽象代数学の観点からは ''K''-[[準同型]]とも呼ぶ。

線形空間 ''V'' の部分集合 ''W'' は、''W'' が ''V'' における線形演算について閉じており、''V'' における線形演算の ''W'' への制限によって ''W'' 自身が線形空間となるとき[[線形部分空間]]と呼ばれる。これはつまり、''V'' に含まれる線形空間 ''W'' に対して包含写像 ''W'' → ''V'' が線形性を持つことを言っている。

線形空間 ''V'' の部分空間の族 {''W''λ} の共通部分はまた部分空間になるが、和集合は部分空間にならない。和集合を含む最小の部分空間を {''W''λ} で生成される部分空間あるいは和空間とよぶ。和空間は
:<math>\sum_{\lambda} W_\lambda = \left\{\sum_\lambda x_\lambda \mid x_\lambda\in W_\lambda, x_\lambda=0\mbox{ except for some}\lambda \right\}</math>
と書くことができる。

== 様々な線形空間 ==
数直線 '''''R''''', 座標平面 '''''R'''''2, 座標空間 '''''R'''''3, ガウス平面 '''''C''''' などを含む数空間 '''''R'''''''n'', '''''C'''''''n'' または一般に体 ''K'' の元の ''n''-組の全体 ''K''''n'' は成分ごとの演算でベクトル空間になる。これを[[数ベクトル空間]]と呼ぶ。数ベクトル空間 ''K''''n'' に対して
:<math>(1,0,\ldots,0), (0,1,0,\ldots,0),\ldots,(0,0,\ldots,0,1)</math>
のような形の数ベクトルの全体は一組の基底となる。これを数ベクトル空間 ''K''''n'' が内在的に持っている基底という意味で'''標準基底'''という。したがってとくに数ベクトル空間 ''K''''n'' は ''n'' 次元線形空間である。

零ベクトルのみからなるベクトル空間 ''V'' = {'''0'''''V''} は '''0'''''V'' + '''0'''''V'' = '''0'''''V'', ''c'''''0'''''V'' = '''0'''''V'' (''c''''V'' ∈ ''K'') として任意の体 ''K'' 上の線形空間となる。これを'''自明なベクトル空間'''と呼ぶ。任意の線形空間は、その零ベクトルのみからなる自明なベクトル空間を部分空間として含む。自明なベクトル空間は空集合から生成されるとみなされ、次元は 0 であると定められる。

複素数全体の成す集合としての '''''C''''' は {1, ''i''} を基底として実数体 '''''R''''' 上の 2 次元線形空間とみなせる。一般に[[体の拡大]] ''L''/''K'' が与えられたとき、拡大体 ''L'' はその加法と部分体 ''K'' の元の（''L'' における）積をスカラー乗法として ''K'' 上の線形空間になる。たとえば '''''R''''' は部分体として有理数体 '''''Q''''' を含むから、'''''Q''''' 上の線形空間である。'''''R''''' の '''''Q''''' 上の基底は[[ハメル基底]]と呼ばれ、非可算無限の濃度を持つ。

定まったサイズの[[行列]]の全体は行列の和と実数倍で線形空間となる。行列には行と列のサイズに関する条件によっては乗法が定義できるが、線形空間としての構造には積構造は無関係であり、行も列も要素の並びであるという以上の意味を持たない。つまり、体 ''K'' 上の ''n'' × ''m'' 行列の成す線形空間 Mat(''n'', ''m''; ''K'') は[[行列単位]]を標準基底とする数ベクトル空間 ''K''''n''×''m'' と同一視される。

特定の性質を持つ関数を集めた[[関数空間]]は、関数の持つ値による演算の引き戻しが定める関数の和と定数倍に関して、しばしば線形空間として扱われる。区間 [''a'', ''b''] ⊂ '''''R''''' 上の連続関数の全体 ''C''[''a'', ''b''] = ''C''([''a'', ''b''; '''''R''''']), '''''R''''' 上の無限回微分可能な関数の全体 ''C''∞('''''R''''') = ''C''∞('''''R'''''; '''''R'''''), 複素解析関数の全体 ''C''ω('''''C''''') = ''C''ω('''''C'''''; '''''C''''') など、空間 ''X'' 上の[[滑らかな関数|滑らかさ]]の等級が ''C''''k'' である ''K''-値関数の空間 ''C''''k''(''X''; ''K'') や区間 [''a'', ''b''] ⊂ '''''R''''' 上の可積分関数の全体 ''L''1[''a'', ''b''] = ''L''1([''a'', ''b''; '''''R''''']) あるいは超関数論における[[急減少関数]]の空間や[[ソボレフ空間]]のようなものが典型的である。また、線形写像の作る関数空間は後述のように行列の作る線形空間と見なされる。あるいは（高々）可算集合上の関数空間はとくに[[数列空間]]を構成する。（無限）実数列の全体 '''''R''''''''''N''''', '''''R'''''∞, 収束する複素数列の全体。項数 ''n'' の ''K''-値数列空間は数空間 ''K''''n'' であり、体 ''K''-係数の一変数多項式の全体 ''K''[''x''], あるいは''n''次以下の一変数多項式の全体などは係数列を考えることによって数列空間と同型な線形空間となる。
*''k''階斉次線型常微分方程式
:<math>\frac{d^kf}{dx}+a_{k-1}(x)\frac{d^{k-1}f}{dx}+ \cdots +a_1(x)\frac{df}{dx}+a_0(x)f=0</math>
の解全体は、関数の和と実数倍に関して線形空間をなす。

== 基底変換と行列 ==
''V'' と ''W'' をどちらも基底の定められた有限次元の線形空間とする。基底をそれぞれ <'''e'''1, ..., '''e'''''n''>, <'''''f'''''1, ..., '''''f'''''''m''> とする。このとき、''V'' から ''W'' への[[線形写像]] ''T'' は、
:<math>\begin{cases}
T(\mathbf{e}_1) =& a_{11}\mathbf{f}_1 + \cdots + a_{m1}\mathbf{f}_m\\
& \vdots \\
T(\mathbf{e}_n) =& a_{1n}\mathbf{f}_1 + \cdots + a_{mn}\mathbf{f}_m \end{cases}
</math>
とするとき、任意の ''V'' のベクトル '''''v''''' = ''c''1'''''e'''''1 + … + ''c''''n'''''''e'''''''n'' に対してその値が
:<math>T(\mathbf{v})=\mathbf{f}_1\sum_{i=1}^n a_{1i}c_i + \cdots + \mathbf{f}_m\sum_{i=1}^n a_{mi}c_i = \sum_{j=1}^m \left( \mathbf{f}_j \sum_{i=1}^n a_{ji}c_i \right)</math>
のように決まる。'''''v''''' を列ベクトル (''c''1, ..., ''c''''n'') と同一視し、''f''('''''v''''') を '''''f'''''''i'' の成分を第 ''i'' 成分とする行ベクトルと同一視すれば、このことは (''m'', ''n'') 行列 (''a''''ij'') に対して '''v''' を右から掛けていることに他ならない。

線形写像を合成することが、行列の積に対応していることも分かる。このようにして、基底を与えることで、線形写像を行列として取り扱うことが出来る。

== 線形空間の構成法 ==
既存の線形空間族をつかって新たに線形空間を構成する方法がいくつかある。これらの構成は、逆に与えられた線形空間をより単純な線形空間へ分解するという視点も与える。とくに、線形空間を表現空間とする、代数系の線型表現論ではいくつもの線形空間が様々な構成と分解の系列として現れる。
; 直和空間: 与えられた線形空間族の構成的な[[直和]]空間とは、制限直積に成分ごとの和・スカラー倍を入れたものである。線形空間族の直和空間は、唯一つの成分を除く全ての成分が各線形空間の零ベクトルであるような元を考えることにより、族の各ベクトル空間を部分空間として含むものと見なせる。このとき、部分空間族の和として書けるもののなかでどの二つの空間も共通部分が零ベクトル以外に無いものが直和になっている。
; 商空間・直交補空間: 部分線形空間による剰余類への分解によって得られる線形空間。線形空間の加群としての自由性から、商空間は実際には基底ベクトルをいくつか零ベクトルと取り替えてできるような部分空間として得られる。内積を持つ線形空間では、直交性によってこのような商空間を構成することができて、直交補空間と呼ばれる。有限次元の線形空間では商空間と直交補空間は双対的な関係にある。
; 関数空間・双対空間: ''S'' を集合とし、''V'' を線形空間とするとき、''S'' から ''V'' への写像全体は線形空間になる。その特殊な例として、''K''-線形空間 ''V'' から ''K''-線形空間 ''W'' への線形写像全体も ''K''-線形空間になる。この線形空間を Hom''K''(''V'',''W'') と表す。''K'' が明らかであるときは単に Hom(''V'',''W'') と書くこともある。''W''=''K'' のとき、Hom''K''(''V'',''K'') は[[双対線形空間]]と呼ばれる。
; テンソル積空間: [[テンソル積]]は自然に線形構造が遺伝する。線形空間のテンソル積を線形空間の直積と呼ぶ場合もあるが、台集合は直積ではないし、圏論的な意味での直積でもないという意味で紛らわしい。
; 係数の取替え: ''K''-線形空間 ''V'' に、体の準同型 ''f'': ''L'' → ''K'' を与えて、''L'' の元 λ の ''V'' の元 ''v'' への作用を λ''v'' := f(λ)''v'' として入れるならば, ''V'' を ''L''-線形空間と見ることができる。特別の場合として体の拡大 ''L''/''K'' があれば ''K''-線形空間の ''L'' への係数拡大や ''L''-線形空間の ''K'' への係数制限が考えられるが、係数拡大はテンソル積によって記述することもできる。

== 付加的な構造をもつ線形空間 ==
'''''R''''' や '''''C''''' は通常の絶対値が定める標準的な距離によって位相が定まり、[[位相体]]となる。一般に位相体上の線形空間に対して位相が定められているとき、[[位相線形空間]]の概念を考えることができる。[[ノルム]]をもつ線形空間は[[ノルム線型空間]]と呼ばれる位相線形空間の例である。[[内積]]の定義されている線形空間は、代数的に定義される内積から定まる二次形式を位相的な計量としてもつノルム空間であり、[[計量線形空間]]と呼ばれる。基底に含まれるどの二つのベクトルの内積も 0 であるとき、その基底を'''直交基底'''という。さらに全ての基底ベクトルの[[ノルム]]が 1 であれば、その基底の組を'''正規直交基底'''という。ノルム空間や内積空間に完備性を仮定することにより、[[バナッハ空間]]や[[ヒルベルト空間]]の概念が導入される。

== 一般化 ==
体上の線形空間の概念は、係数として適当な[[環論|環]]を考えることにより[[環論|環]]上の[[加群]]に一般化される。非可換な環を係数とする場合には、スカラー乗法も左右が区別されて右加群・左加群あるいは両側加群が考えられる。特に、[[斜体|非可換な（多元）体]]を係数にとるとき、スカラー乗法の左右を区別して左線形空間、右線形空間の概念が定義される。

一つの線形空間の張り合わせによってできる幾何学的な対象の一つに[[アフィン空間]]がある。原点を固定して座標を入れれば線形空間が現れる。[[ユークリッド空間]]はこのような空間の一種である。同様に[[ベクトル束]]は多様体などの位相空間の各点に線形空間を対応付けて得られる、線形空間の添字付けられた[[族 (数学)|族]]である。

==関連項目==
* [[線形代数学]]
* [[代数的構造]]
* [[量子力学の数学的基礎]]

[[Category:線形代数学|せんけいくうかん]]
[[Category:数学に関する記事|せんけいくうかん]]

{{Wikipedia/Ja|ベクトル空間}}

ベクトル空間

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#REDIRECT[[線形空間]]

線形代数

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#REDIRECT[[線形代数学]]

線形代数学

2007-09-08T09:54:54Z

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'''線形代数学'''（せんけいだいすうがく、linear algebra）は、[[行列]]や[[行列式]]に関する理論を体系化した[[代数学]]の一分野である。

== 概要 ==
行列は種々の変数の[[一次関数|一次の関係式]]で表される関係を記述するものであり、もともとは[[線形方程式系|連立一次方程式]]の解法の研究である。行列の記法は、連立方程式の解法に関して[[アーサー・ケーリー|ケーリー]]、[[ジェームズ・ジョゼフ・シルヴェスター|シルヴェスター]]、[[フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス|フロベニウス]]、[[フェルディナント・ゴットホルト・マックス・アイゼンシュタイン|アイゼンシュタイン]]、[[シャルル・エルミート|エルミート]]がそれぞれ同時期に提唱した。最も早くこの理論を提唱したのはアイゼンシュタインであるが、皆、学会からはなかなか注目されずケーリーが取り組んでいたものが30年後にシルヴェスターによって再発見されたことで評価され始めるようになった（シルヴェスターが個別に発見したのか、ケーリーの理論を知っていたのかは詳しくは分かっていない）。

連立方程式を一次変換と捉える立場からは、線形代数学は、高次元のまっすぐな空間（現代的にいえば[[ベクトル空間]]）の幾何について研究する学問であると言うことができる。このようにベクトル空間とその変換の理論として見るとき、線形代数学はしかし[[高々 (数学)|高々]]有限次元のベクトル空間の理論である。これを無限次元のベクトル空間で対象とするためには、多分に空間の[[位相空間|位相]]とそれに基づく[[解析学]]が必要となる。無限次元の線形代数学は[[関数解析学]]と呼ばれる。これは、無限次元のベクトル空間が、ある空間上の関数全体の集合として典型的に現れるからである。

和算家の[[関孝和]]も現在の行列式に当たるものを独自に開発・研究していた。

線形代数学においては[[線形性]]が一つの重要なファクターであり、それを意味する述語 linear を冠する概念は多いが、その日本語訳については、"線状"、"線形"、"線型"、"一次" などといった揺れが存在する。例えば、線形代数学は'''線型代数学'''と書かれることも多い。

== 用語 ==
;[[ベクトル空間]]（線形空間）- [[ベクトル (数学)|ベクトル]] - [[線形部分空間]]
:[[ユークリッド空間]] - [[アファイン空間]]
;[[内積空間]]
:[[内積]] - [[エルミート内積]] - [[直交補空間]] - [[直交射影]]
;[[線形結合]]（一次結合）
:[[線形従属]]（一次従属）- [[線形独立]]（一次独立）
:[[基底]] - [[標準基底]] - [[次元（線形代数学）|次元]] - [[グラム・シュミットの正規直交化法]]
;[[行列]]
:[[実行列]] - [[複素行列]]
:[[正方行列]] - [[正則行列]]（GL(n,R), GL(n,C)） - [[逆行列]] - [[単位行列]] ([[スカラー行列]]) - [[零行列]] - [[冪零行列]]
:[[対角行列]] - [[三角行列]]（上三角行列、下三角行列）
:[[転置行列]] - [[随伴行列]]
:[[直交行列]]（O(n)） - [[特殊直交行列]]（SO(n)） - [[ユニタリ行列]]（U(n)） - [[特殊ユニタリー行列]]（SU(n)） - [[シンプレクティック行列]]（Sp(n)） - （行列の）[[指数関数]]
:[[対称行列]] - [[反対称行列]]（歪対称行列） - [[エルミート行列]] - [[歪エルミート行列]]（反エルミート行列） - [[正規行列]]
:[[置換行列]] - [[隣接行列]]
;[[行列式]]
:[[置換]] - [[小行列式]] - [[余因子展開]] - [[ヤコビアン]] - [[関数行列]]
;[[線形方程式系]]（連立一次方程式）
:[[行列の基本変形]] - [[クラメールの公式]] - [[シルベスター行列]]
;線形変換（一次変換）
:[[線形写像]](線形変換) - [[相似]] - [[成分行列]]
:[[行列の階数|階数]] - [[像 (数学)|像]] - [[核 (数学)|核]]（[[核空間]]）
:[[対角化]] - [[スペクトル分解]] - [[ジョルダン標準形]] - [[特異値分解]]
;[[固有空間]]
: [[固有値]] - [[固有値|固有ベクトル]] - [[フロベニウスの定理]] - [[固有多項式]]（[[固有方程式]]） - [[最小多項式]] - [[ケイリー・ハミルトンの定理]] - [[縮退]]
;[[テンソル]]
:[[双対空間]] - [[双線型形式]] - [[対称形式]] - [[エルミート形式]] - [[テンソル代数]] - [[グラスマン代数]]

== 関連項目 ==
* [[代数学]]
* [[環 (数学)]]
* [[体 (数学)]]
* [[加群]]
* [[リー群]]
* [[リー環]]
* [[関数解析学]]

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かにかま

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カニカマ

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かに風味かまぼこ

2007-09-08T09:04:43Z

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'''かに風味かまぼこ'''、'''蟹風味蒲鉾'''（かにふうみかまぼこ）とは、色や形・食感を[[カニ]]の身に似せた[[蒲鉾|かまぼこ]]（[[魚肉練り製品]]）のこと。略して'''かにかま'''ということも多い。

==概要==
この種の製品の名称は、[[JAS法]]の品質表示基準によれば「'''風味かまぼこ'''」または「'''風味かまぼこ（かに風味）'''」と記載することができる。

しかし、カニ肉は入っておらず、原料は[[スケトウダラ]]である。ほとんどのメーカーは海外であらかじめすりみ（擂り身）にして冷凍した輸入冷凍すりみを主原料としている。

最外層の赤色は[[食品添加物]]の食用色素である天然[[着色料]]のモナスカス色素（紅麹色素）、コチニール色素、トマト色素などで、カニの香りと味は、同じく[[食品添加物]]の[[香料]]（フレーバー）とカニ抽出物（かに[[エキス]]）でつけられている。

冷凍すりみを急速に解凍し、もう一度冷凍すると、カニの足と同じような繊維ができる。すり身に含まれた水分が、一定の方向に向かって流れるようにすると、よりカニに似る。

[[スーパーマーケット|食品スーパー]]や[[回転寿司]]店などで見かける大量生産型のかに風味かまぼこは、切れ目を入れたシート状のかまぼこを、ロール状に巻くことで製造しているものが多い。

また、近年は[[消費者]]の本物志向や高級志向もあってか、本物のカニ肉が使用されたかに風味かまぼこも少数ながら見受けられる。

==歴史==
[[1973年]]（昭和48年）に[[石川県]][[七尾市]]の水産加工メーカーである[[スギヨ]]が、着色・着香した蒲鉾を細く裁断した商品である「珍味かまぼこ・かにあし」を発売したのが最初である。

スギヨの三代目社長[[杉野芳人]]が、[[コンブ]]から取れる[[アルギン酸]]で人工[[クラゲ]]を作ろうとしていたところ、その失敗作がカニの触感に似ていることに気づき、人工カニ肉の製作を思いつく（[[アルギン酸ナトリウム]]の溶液はカルシウム溶液に入れると凝固する性質があり、人造[[イクラ]]も同じ製法で作られている）。試行錯誤の末、「珍味かまぼこ・かにあし」を開発し発売したものの、「インチキだ」などとスギヨに苦情が寄せられた。しかし、杉野はこの消費者の声を逆手にとり「カニのようでカニでない」との[[キャッチコピー]]で、あくまでも「アイディア商品」として広告宣伝活動を行った。これが功を奏し、全国的に大ヒットすることとなる。

このかに風味かまぼこ誕生秘話は、[[2007年]]（平成19年）[[日本テレビネットワーク協議会|日本テレビ系列]]の[[テレビ番組]]「[[未来創造堂]]」の中でも紹介された。ちなみに、「珍味かまぼこ・かにあし」は、取り出されたカニの身のような蒲鉾が、[[合成樹脂|プラスチック]]パックの中に入れられていた。

[[1974年]]（昭和49年）には、[[広島県]]の水産加工メーカーである大崎水産が、現在もっとも一般的な形状である、棒状のかに風味かまぼこ「フィッシュスチック」を発売し大ヒットを収めた。この商品は業務用を中心に現在も発売が続くロングセラーとなっており、築地場外市場や大阪天満市場、広島県内の食品スーパーなどでは一般個人客でも購入することができる。

==世界での普及==
かに風味かまぼこは世界各地で安値で食べられる[[サラダ]]などのトッピングとして人気食品のひとつで、日本からの輸出も盛んであった。しかし、[[欧州連合|EU]]、[[アメリカ合衆国|アメリカ]]の水産食品製造施設への[[HACCP]]導入により、対応できる日本の企業が限定されること、現地生産の増加、[[牛海綿状脳症|BSE]]等の影響で輸入冷凍すり身の高騰したことなどから輸出は減少傾向となり、現在海外では韓国製のものが多く流通している。

[[欧州連合|EU]]、[[アメリカ合衆国|アメリカ]]では肉より魚を食べる方が良いとされるヘルシー志向により、このかに風味かまぼこも人気が上昇している。むしろ日本よりも広いジャンルで積極的に使用されており、日本食ブームが続いていることも追い風となって、世界的な消費量は拡大を続けている。かに風味かまぼこを指す「スリミ([[w:surimi|surimi]])」という単語も定着している。[[フランス]]ではこのスリミと野菜類を普通の[[フランスパン]]（バゲット）よりも柔らかい食感のスエードワ（[[スウェーデン]]風パン）で挟んだものを「スウェーデン風サンドウィッチ」と称して街のパン屋などで広く売られている。またアメリカには"KANI"という商品名のかに風味かまぼこも存在しており、スシバーなどでは蟹を意味するcrabに対して、kaniと言えばかに風味かまぼこのことを指すという誤った用法が定着している地域もある。

[[中華人民共和国|中国]]では日本から技術導入した工場が現地製造している。「人造蟹柳レンザオシエリュウ rénzào xièliǔ」などと呼ばれるが、鍋料理など、各種の[[中華料理]]に加工されて普及してきているので、「蟹柳」と書かれている料理を注文する際には、本物のカニ肉を使ったものかどうか確認が必要となっている。

==関連商品==
類似商品にえび風味かまぼこ（エビカマ）もあったが、ほとんど見られない。同じく類似商品であるホタテ風味かまぼこは現在も少量ながら製造販売されている。

== 関連項目 ==
* [[カリフォルニアロール]]
* [[蒲鉾]]
* [[サラダ]]
* [[コピー食品]]

[[Category:魚肉練り製品|かにかま]]

== 外部リンク ==
*[http://www.sugiyo.co.jp/ 株式会社スギヨ]
*[http://www.osakisuisan.com/ 株式会社大崎水産]

[[Category:日本の食文化|かにふうみかまほこ]]

{{Wikipedia/Ja|カニカマ}}

人体自然発火現象

2007-09-07T08:27:54Z

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'''人体自然発火現象（Spontaneous Human Combustion、SHC）'''は、[[人間]]の体内から突然[[火|発火]]し、正確な出火元が不明の現象である。科学的には説明がつかない現象であり、[[超常現象]]の一種とされる。人体自然発火現象の事例はかなり昔から報告されており、過去には、[[タバコ]]や[[アルコール]]を多く使用する女性のみに起こる現象だと考えられていた。しかし近年では、タバコやアルコールを使用しない人や、男性や子供にも発生した事例が多くあることがわかっている。

== 概要 ==
人体自然発火現象は、周辺に火気がないにも関わらず、突然人間から発火する。発火は、一定の時間でおさまる。また、発火後の炎上の仕方も、はっきりと下半身のみを残して焼けていたり、片腕だけだったり、背中の一部のみだったりする。被害者は死亡する事例が大半であるが、命に別状の無い箇所が焼けたのみの生存者も多くいる。

前述のように、過去には、タバコやアルコールを多く使用する女性に被害が集中していたため、タバコに含まれる物質や、体内にあったアルコールが燃料状態になり、何らかの理由で発火したという説が高かった。しかし、近年の事例では、タバコやアルコールを使用しない子供や、男性にも被害が出ていることが明らかになった。また、女性だけが発火するということについての説明も、前のような説では説明がつかなかった。

また、事件の事例は、[[イギリス]]が圧倒的に多いことから、イギリスに地理的な原因があるのではないかともいわれている。

== 主な仮説 ==
人体自然発火現象の仮説は、主に以下のようなものがある。[http://www.crc-japan.com/research/h-fire/index.html][http://x51.org/x/04/03/0326.php]
=== アルコール大量接種による発火説 ===
前述にもあったが、この仮説は、アルコールを大量に摂取することによって、体内にアルコールが残り、残ったアルコールが燃料状態になるという説である。しかし、アルコールを摂取しない人も被害に遭っているため、現在ではこの説は否定されている。

=== リンによる発火説 ===
大気中で激しく燃え上がる[[リン]]が、発火を引き起こしているとする説である。しかし、リンが体内で発火することは考えにくい。

=== プラズマ発火説 ===
[[プラズマ]]が被害者に偶然移ることによって、発火するという説である。イギリスでプラズマが多く発生するため、イギリスでの事例が集中しているともいわれている。しかし、被害者の[[炎上]]の仕方や、プラズマが被害者に移る確率からして、あまり有力な説ではない。

=== 人体ロウソク化による発火説 ===
人体が[[ロウソク]]のような状態になることによって発火する説である。[[豚肉]]を使用する実験では、布に包まれた豚肉がロウソクのような状態になり発火することが明らかになっている。最も信頼性が高い仮説とされているが、人体がどのようにロウソク化するのかは明らかになっていない。

=== 人体帯電説 ===
被害者の体内に、ある一定の量の電圧が発生し高温になった状態で、何らかの理由で発火するという仮説である。しかし、詳しい内容は仮設されておらず、人間の体内に電圧が発生するということに関する解明もなされていない。

=== 発火性遺伝子による発火説 ===
人間の体に含まれる[[遺伝子]]の中に、発火性のものがあり、それが突然発火するという説である。一部の科学者たちはこの説に注目している。ただし、そのような遺伝子は発見されていない。

=== [[火災]]の誤認説 ===
人体発火説では「周りに火の気が無く、人体の周りだけが焦げ、人体そのものはほんの一部を残して炭化ないし焼失している」とされている。しかし火災誤認説では何らかの疾病などで急死した人物の着衣にタバコや[[照明]]・[[暖房]]などを熱源として火が付き、締め切った断熱性の高い屋内で着衣やその周辺がゆっくりと燃える過程で人体の[[脂肪|脂肪分]]が燃料となり更に燃え続け、周囲への延焼も無く室内の[[酸素]]が消費されつくして建物が延焼せず鎮火した偶然の結果だというものである。これらは同現象発生時に「室内の気温が異様に高かったこと」や「締め切った室内に充満する酷い焼け焦げた匂い」などの発見事例が似た状況下の他の物が燃えた火災の自然消火現象に類似するためで、上の人体ロウソク化現象を補填する形となっている。

他にも、電磁波発火説（空中に大量に放出された電子が，被害者への発火を引き起こす）や、レイライン説（地球上の経緯線のような、ある一定のライン上でこのような現象が起こる）、球電説などの仮説がある。

== 主な事例 ==
=== メアリー・リーサーの事例 ===
[[1951年]][[7月1日]]の夕方、[[アメリカ]]、[[フロリダ州]]の[[セントピーターズバーグ (フロリダ州)|セントピータースバーグ]]のマンションでおこった事例。被害者のメアリー・リーサーの息子、リチャード・リーサーが母親のマンションを訪ねると、母親はスリッパを履いたままの足などを残して、すでに焼け死んでいた。まわりの古新聞紙などは燃えていなかった。

前日に息子が母親を訪ねた際は、母親は読書をしていたという。[http://www.fitweb.or.jp/~entity/kaiki/shizenahakka.html][http://wikiterious.com/html/modules/pukiwiki/187.html]

=== アルフレッド・アシュトンの事例 ===
[[1988年]][[1月8日]]に、イギリス南部の[[サウサンプトン]]でおこった代表的な人体自然発火現象の事例である。アルフレッド・アシュトンとは、被害者の名前である。被害者は、下半身のみをくっきりと残して焼け、発見時には既に死亡していた。周辺には、火気らしきものはなかった。室内は高温だった。

==その他==
漂白剤・消毒剤として用いられる[[次亜塩素酸ナトリウム]]水溶液を浴びた衣服を洗浄せずに乾燥させ、着用していたところ突然爆発した事例がある。これは化学反応によって[[塩素酸ナトリウム]]などの強[[酸化剤]]が生成され、摩擦熱などよって着火したものである。

衣服に用いられる[[フリース]]は構造上多量の空気を含むため、調理時の不注意などで着火すると爆発的に炎上することが知られている。

== 関連項目 ==
*[[超常現象]]
*[[オカルト]]
*[[燃焼]]

== 外部リンク ==
*[http://www.fitweb.or.jp/~entity/kaiki/shizenahakka.html fitweb.or.jp - 人体自然発火現象]
*[http://www.crc-japan.com/research/h-fire/index.html crc-japan.como - 人体自然発火現象]
*[http://web.archive.org/web/20030418222504/http://news.bbc.co.uk/2/hi/uk_news/158853.stm A BBC article describing the experiment] (英語)
*[http://www.csicop.org/si/9611/shc.html CSICOP article on spontaneous human combustion] (英語)

[[Category:超常現象]]
[[Category:症候]]

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