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2007-10-21T04:46:10Z

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'''ド・モアブルの定理'''（-ていり。'''ド・モアブルの公式'''（-こうしき）とも）とは整数<math>n</math>に対して、
:<math>(\cos \theta + i \sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i \sin n \theta</math>
が成り立つという[[複素数]]に関する[[定理]]である。定理の名称は[[アブラーム・ド・モアブル]]に因む。証明には三角関数の加法定理が利用される。

ひとたびド・モアブルの定理が証明されそれが既知であるならば、定理の等式に現れる ''n'' を[[自然数]]とするとき、左辺の[[冪乗]]を展開して実部・虚部を比較することで、''n'' 倍角の公式を導出することができる。すなわち、ド・モアブルの公式は三角関数の ''n'' 倍角の公式を内在的に含んでいる。

[[オイラーの公式]]によれば、この定理は複素変数の[[指数関数]]に関する指数法則（の一部）
:<math>(i \theta)^{n} = (i n \theta)(\theta \isin R, n \isin Z)</math>
の成立を意味するものである。

==証明==
<b>1</b>. まずは''n''が（0を含む）[[自然数]]であるときに、[[数学的帰納法]]を用いて定理の成立を示す。

[i] <math>n = 0</math>のとき
:（左辺）<math>= (\cos \theta + i \sin \theta)^{0} = 1</math>
:（右辺）<math>= \cos 0 + i \sin 0 = 1</math>
よって<math>n = 0</math>のとき成立。

[ii] <math>n = k</math>のとき
:<math>(\cos \theta + i \sin \theta)^{k} = \cos k \theta + i \sin k \theta</math>
が成り立つならば、
:<math>(\cos \theta + i \sin \theta)^{k + 1}</math>
:<math>= (\cos \theta + i \sin \theta)^{k}(\cos \theta + i \sin \theta)</math>
:<math>= (\cos k \theta + i \sin k \theta)(\cos \theta + i \sin \theta)</math>
:<math>= \cos k \theta \cdot \cos \theta + \cos k \theta \cdot i \sin \theta + i \sin k \theta \cdot \cos \theta - \sin k \theta \cdot \sin \theta</math>
:<math>= (\cos k \theta \cdot \cos \theta - \sin k \theta \cdot \sin \theta) + i(\cos k \theta \cdot \sin \theta + \sin k \theta \cdot \cos \theta)</math>

ここで[[三角関数#加法定理|加法定理]]より、
:<math>\cos k \theta \cdot \cos \theta - \sin k \theta \cdot \sin \theta = \cos (k\theta + \theta)</math>
:<math>\cos k \theta \cdot \sin \theta + \sin k \theta \cdot \cos \theta = \sin (k\theta + \theta)</math>
であるから、結局
:<math>(\cos \theta + i \sin \theta)^{k + 1} = \cos ((k + 1) \theta) + i \sin ((k + 1) \theta)</math>
となり、<math>n = k + 1</math>のときも定理は成立する。

よって、[i], [ii]からすべての[[自然数]]nに対してド・モアブルの定理が成り立つ。

<b>2</b>. 続いて''n''が[[負の整数]]の場合を、既に示した''n''が自然数の場合を利用して証明する。

<math>n < 0</math>のとき<math>n = -m</math>となる自然数''m''をとると、1より''m''に対しては定理の等式が成立するから、
:<math>(\cos \theta + i \sin \theta)^{-m}</math>
:<math>= {1 \over {(\cos \theta + i \sin \theta)^{m}}}</math>
:<math>= {1 \over {\cos m \theta + i \sin m \theta}}</math>
:<math>= {{\cos m \theta - i \sin m \theta} \over {(\cos m \theta + i \sin m \theta)(\cos m \theta - i \sin m \theta)}}</math>
:<math>= \cos m \theta - i \sin m \theta</math>
であり、また、
:<math>\cos (-m \theta) + i \sin (-m \theta) = \cos m \theta - i \sin m \theta</math>
であるから<math>n < 0</math>のときも成り立つ。

以上からド・モアブルの定理は任意の整数''n''について成り立つことが示された。

==関連項目==
*[[複素数]]
*[[三角関数]]

[[Category:解析学|ともあふるのていり]]
[[Category:初等数学|ともあふるのていり]]
[[Category:定理|ともあふる]]
[[Category:数学に関する記事|ともあふる]]
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ド・モアブルの定理 - 変更履歴

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